Point pondéré

Formulaire de report

Problème d'affichage Contenu de la note peu pertinent

Définition

Définition :
Un point pondéré est la donnée d'un couple \((A,\omega)\), formé d'un point \(A\) et d'un poids \(\omega\in{\Bbb R}^*\)

(Point)

Formules

Addition d'un point pondéré et d'un vecteur

Définition :
Pour un vecteur \(\vec u\), on pose $${{(A,\omega)+\vec u}}:={{\left( A+\frac1\omega\vec u,\omega\right)}}\qquad\text{si }\omega\ne0$$

(Vecteur)

Vecteur sous-jacent

Étant donné un point pondéré \((A,\omega)\), on note \(\overrightarrow{(A,\omega)}\) le vecteur \(\omega\vec A\) et on l'appelle le vecteur sous-jacent à \((A,\omega)\)

(Vecteur sous-jacent)

Proposition : $${{\overrightarrow{(A,\omega)+\vec u} }}={{\overrightarrow{(A,\omega)}+\vec u}}$$

Consigne: Montrer que $$\overrightarrow{(A,\omega)+\vec u} =\overrightarrow{(A,\omega)}+\vec u$$

$$\begin{align}\overrightarrow{(A,\omega)+\vec u}&=\overrightarrow{\left( A+\frac1\omega\vec u,\omega\right)}\\ &=\left(\overrightarrow{A+\frac1\omega\vec u}\right)\omega\\ &=\left(\vec A+\frac1\omega\vec u\right)\omega\\ &=\vec A\omega+\vec u\\ &=\overrightarrow{(A,\omega)}+\vec u\end{align}$$

Somme d'une famille de points pondérés

Définition :
On définit la somme d'une famille \((A_i,\omega_i)\) de points pondérés de la façon suivante : $${{\sum(A_i,\omega_i)}}={{\begin{cases}(\sum\overset{\;-}{\omega_i}A_i,\omega)&\text{si}\quad\sum\omega_i\ne0\\ \sum\omega_iA_i&\text{si}\quad\sum\omega_i=0\end{cases}}}$$ donc c'est soit le barycentre pondéré par le poids total de la famille, soit un vecteur

Remarque :
Si on considère que le poids d'un vecteur est \(0\), alors "le poids d'une somme pondérée est la somme des poids"

Cas particuliers

Proposition :
$${{(A,0)}}+\vec u={{\vec u}}$$

Proposition : $${{(A,0)}}+(B,\omega)={{(B,\omega)}}$$

Cas d'égalité des points

Proposition :
Si \(A_1=\cdots=A_n=A\), alors $${{\sum(A_i,\omega_i)}}={{\left( A,\sum\omega_i\right)}}$$

Consigne: Montrer que si \(A_1=\cdots=A_n=A\), alors $${{\sum(A_i,\omega_i)}}={{\left( A,\sum\omega_i\right)}}$$

1er cas : \(\omega\ne0\) : $$\begin{align}\overrightarrow{\sum\overset{\;-}{\omega_i}A}&=\sum\bar\omega_i\vec A\\ &=\vec A\end{align}$$

2e cas : \(\omega=0\) : $$\begin{align}\sum\omega_i\vec A_i&=\sum\omega_i\vec A\\ &=\underbrace{\sum\omega_i}_{=0}\vec A\\ &=0\end{align}$$

Vecteur

Proposition : $${{\overrightarrow{\sum(A_i,\omega_i)} }}={{\sum\overrightarrow{(A_i,\omega_i)} }}$$ avec la convention pour les vecteurs \(\vec{\vec u}=\vec u\)

Consigne: Montrer que proposition : $${{\overrightarrow{\sum(A_i,\omega_i)} }}={{\sum\overrightarrow{(A_i,\omega_i)} }}$$ avec la convention pour les vecteurs \(\vec{\vec u}=\vec u\)

1er cas : si \(\sum\omega_i=0\), alors $$\overrightarrow{\sum(A_i,\omega_i)}=\overrightarrow{\sum\omega_i\vec A_i}=\sum\omega_i\vec A_i=\sum\overrightarrow{(A_i,\omega_i)}$$

2e cas : si \(\sum\omega_i\ne0\), alors : $$\begin{align}\overrightarrow{\sum(A_i,\omega_i)}&=\overrightarrow{\left(\sum\overset{\;-}{\omega_i}A_i,\omega\right)}\\ &=\omega\overrightarrow{\left(\sum\overset{\;-}{\omega_i}A_i\right)}\\ &=\omega\left(\sum\overset{\;-}{\omega_i}\vec A_i\right)\\ &=\sum\omega_i\vec A_i\\ &=\sum\overrightarrow{(A_i,\omega_i)}\end{align}$$

Egalité de sommes de points pondérés

Proposition :
\(\sum(A_i,\alpha_i)=\sum(B_j,\beta_j)\) si et seulement si...
- \(\sum\alpha_i=\sum\beta_j\)
- \(\overrightarrow{\sum(A_i,\alpha_i)}=\overrightarrow{\sum(B_j,\beta_j)}\)

Consigne: Montrer que \(\sum(A_i,\alpha_i)=\sum(B_j,\beta_j)\) si et seulement si...
- \(\sum\alpha_i=\sum\beta_j\)
- \(\overrightarrow{\sum(A_i,\alpha_i)}=\overrightarrow{\sum(B_j,\beta_j)}\)

1er cas : si \(\sum\alpha_i=\sum\beta_j=0\) : $$\begin{align}\sum(A_i,\alpha_i)&=\overrightarrow{\sum(A_i,\alpha_i)}\\ \sum(B_j,\beta_j)&=\overrightarrow{\sum(B_j,\beta_j)}\end{align}$$ les deux sont donc égaux si et seulement si la deuxième condition est validée

2e cas : si \(\sum\alpha_i\ne0\), \(\sum\beta_j\ne0\) $$\begin{align}\sum(A_i,\alpha_i)&=\left(\sum\bar\alpha_iA_i,\alpha\right)\\ \sum(B_j,\beta_j)&=\left(\sum\bar\beta_jB_j,\beta\right)\end{align}$$

"\(\iff\) " si et seulement si \(\alpha=\beta\) et $$\begin{align}&\overrightarrow{\sum\bar\alpha_iA_i}=\overrightarrow{\sum\bar\beta_jB_j}\\ \iff&\alpha\sum\bar\alpha_i\vec A_i=\beta\sum\bar\beta_j\vec B_j\\ \iff&\sum\overrightarrow{(A_i,\alpha_i)}=\sum\overrightarrow{(B_j,\beta_j)}\end{align}$$ soit"\(\iff\) " si et seulement si \(\alpha=\beta\) et \(\sum\overrightarrow{(A_i,\alpha_i)}=\sum\overrightarrow{(B_j,\beta_j)}\)

Associativité de la somme de points pondérés

Propriété :
La somme des points pondérés est associative, i.e. $$\sum^n_{i=1}(A_i,\omega_i)=\left(\sum^{k-1}_{i=1}(A_i,\omega_i)\right)+\left(\sum^n_{i=k}(A_i,\omega_i)\right)\quad\text{ pour }\quad k\in[\![1,n]\!]$$

(Associativité)

Remarque :
Puisque la somme des poids pondérés est associative, on peut remplacer une partie des points par leur barycentre dans une somme en y mettant la somme des poids correspondants

(Barycentre)

Points pondérés particuliers

Propriété :
$$(A,{{0}})={{\vec0}}$$

Consigne: Montrer que $$(A,{{0}})={{\vec0}}$$

$$(A,0)=0\times \vec A=\vec0$$